一、再论integral from a to (+∞)f(x)dx收敛的必要条件（论文文献综述）
葛依凌[1]（2020）在《学术演讲集《理论物理学八讲》翻译实践报告》文中提出翻译已经不仅仅是两种语言间的符号转换,而是一定背景下的交际行为,本翻译实践报告以翻译马克思·普朗克的学术演讲集《理论物理学八讲》（Eight Lectures on Theoretical Physics Delivered at Columbia University in 1909）文本的汉译为基础完成。《理论物理学八讲》作为学术演讲集,既有科技文本属性,又兼具演讲稿的特点。科技文本大多属于信息型文本,通过朴实的语言向读者传递信息,一般要求译者以内容为核心。而演讲稿则采用更多口语化表达,导致全文术语表述不严谨和不统一。《理论物理学八讲》中最大的翻译难点和重点就是术语翻译,本文将术语翻译存在的问题分为可读性和层次性两大类,结合案例进行分析。全文共五章。第一章是翻译项目介绍,包括项目承接过程和该项目的语言特征。第二章通过梳理国内外文献,总结了科技翻译和术语翻译的一些问题和翻译方法,并给出术语的定义和术语翻译的要求。第三章强调术语翻译的可读性,要求译者注重时效性和术语意识这两个重要因素。理论物理学发展至今经历了许多阶段,每个阶段都有新的术语出现,而术语得到系统性的定义往往需要很长的一段时间。针对经典早期科技文本中的不规范术语和错误术语,本章从时效性和术语意识两个角度出发,结合案例进行分析。第四章强调术语翻译的层次性,从术语的关联度、前后统一和级阶统一三个角度结合案例进行探讨。首先利用word2vector模型进行词向量分析,提供一个科学的术语关联度的判断依据。然后根据全文术语表,对反复出现的同义术语和相似术语进行统一和规范。最后根据韩礼德的级阶概念,通过级阶分析法,探讨术语翻译的级阶统一问题。第五章针对本翻译实践报告进行了总结。
徐小川[2]（2019）在《Schr（?）dinger算子的逆谱与逆散射问题》文中指出Schr（?）dinger算子出现在量子力学、声学、化学、工程力学、地球物理学、电子学及气象学等自然科学领域中,其应用极为广泛.本文研究Schr（?）dinger算子的逆谱与逆散射问题,旨在由其谱数据或散射数据确定Schr（?）dinger算子的未知源.第一章介绍Schr（?）dinger算子的物理背景和应用前景,综述国内外有关Schr（?）dinger算子谱及散射等理论的研究现状,以及总结本论文主要工作和创新点.第二章给出一些记号、复分析的相关知识和Schr（?）dinger方程解的性质.第三章研究区间[0,1]上在中点处具有不连续条件的Schr（?）dinger算子逆谱问题.运用Hadamard分解定理和Phragmén-Lindel（?）f定理证明了:若势函数在[b,1]上（6 ≥1/2）已知,则其两组谱（或N组谱,N≥2）中部分特征值可以唯一确定势函数及边界条件参数和不连续条件参数;若6<1/2,则其一组谱中部分特征值可以唯一确定势函数和部分未知参数.第四章研究半直线上带有Robin边界条件的Schr（?）dinger算子逆特征值问题.证明了—类特殊的特征值集可以唯一确定势函数,并且运用幂级数解析延拓法和Gelfand-Levitan方程给出势函数的重构算法.第五章研究一类具有紧支撑势函数（设支撑为[0,1]）的Schr（?）dinger算子的逆共振问题.关于半直线情形,证明了若势函数部分信息已知,则仅需部分共振和特征值即可得到确定势函数的唯一性,并且给出了所需要的特征值比例与给定势函数的区间长度的关系.关于全直线情形,证明了:（1）若势函数在半区间[0,1/2]上已知,则所有特征值和共振能唯一确定势函数;（2）若势函数在[0,a]上（a>1/2）已知,则仅需部分特征值和共振即可得到唯一性;（3）若势函数在[0,a]上（a<1/2）已知,则所有特征值和共振及部分符号集可以唯一确定势函数;（4）所有特征值和共振以及对应的特征函数和波函数在区间中点处的对数导数值可以唯一确定势函数.第六章研究矩阵型Schr（?）dinger算子的逆散射问题.关于半直线情形,证明了散射数据（即束缚态数据和散射矩阵）唯一确定自伴矩阵型势函数和边界条件中的酉矩阵.进一步,证明了若势函数指数衰减足够快或在区间（a,∞）上（a>0）已知,则仅由散射矩阵可以唯一确定势函数和边界条件中的酉矩阵.关于全直线情形,证明了若势函数指数衰减足够快或在（-∞,b）(或（b,∞）上已知,则仅由左（或右）反射系数可以唯一确定自伴矩阵型势函数.另外,也研究了非紧星图上的逆散射问题:当星图仅含有一条有限边时,给出关于缺失部分束缚态数据的唯一性定理和重构算法;当星图含有多条有限边时,给出确定整个图上势函数的唯一性定理和重构算法.
徐士鑫[3]（2013）在《热—流—质运移过程均匀化理论及电动力学中的一些新观点》文中研究指明本文研究的内容主要分成两部分。在第一部分中,我们考虑在核废料存储过程中由于核废料长时间发热导致的周围多孔介质中的多物理过程。这个多物理过程是一个耦合的带有快速振荡系数的的非线性系统,刻画了由热传导引起的多孔介质中水的流动及污染物的运移过程。在这一部分中,我们首先通过双尺度收敛推导出热-流-质运移过程的均匀化系统,然后给出了原系统的解和相应一阶展开之间的误差估计。在第二部分中我们给出了电动力学的一个新的观点。无论是在实际应用还是在对离子流体与固体间相互作用的理解上电动力学都有非常重要的作用。在本部分中,我们从Poisson-Nernst-Planck （PNP）方程出发,在电中性的假设下推导出一个电动力学相容的框架。我们推导出了电荷守恒的Poisson-Boltzmann （CCPB）方程作为PNP方程的稳态。对于CCPB（或者PNP）方程我们提出了表面势阱模型（surface potential trap）,它一方面可以形成表面电荷密度σ,从而引发电动力学现象,另一方面可以得到ζ势（ζ potential）与离子浓度之间的关系。表面势阱导致的一个结果是在流-固表面（例如水-硅表面）形成一层的表面电荷。这层表面电荷可以看成除了主体离子浓度noo之外由中性分子生成的离子。当管子半径α时,管子中离子的平均浓度n0=n∞+2σ/α。同时我们利用CCPB给出了化学势μ的定义。在给定表面势阱的情况下,给定n∞值,CCPB可以自洽的确定σ和μ的值。同时CCPB可以重整化为PB型方程,但是需要以—μ（α）为边界条件。因此利用表面电荷密度是α和n∞的函数的结论,就可以在计算区域内重新计算PB方程及Gouy-Chapman方程的解。这对纳米尺度的流管非常重要。当管子半径大于Debye长度时,由CCPB或者PNP方程所解得的Debye屏蔽层与PB方程解得的Debye屏蔽层能够很好的吻和。但是当管子半径在纳米尺度时会有明显差异。这表明在微流时,电中性条件对电动力学效应具有举足轻重的影响。以表面电势井为边界条件,我们通过数值求解在外加电场下PNP与Stokes的耦合系统来描述电渗透效应。通过PNP方程的边界条件所实现的电中性条件可知,流体在外电场作用下合力为零。但是,由于与离子（ions）和抗衡离子（counter-ions）相关的流体的差异导致了电渗透现象的发生。同时结果还表明电渗透现象对时间有显着的依赖性。当电势差加在样品上后可以引起一个流动,但是在经过一段时间后,由此引发的扩散,使得自由电荷形成了一个与外电场相反的内电场,与之抗衡然后达到平衡。这表明一个阶梯函数电场可以引起流体的脉冲性流动,随后当出现新的离子浓度平衡后只会有很小的稳态流动。因此一个优化的持久的电渗透效应应当采用周期脉冲的运行方式。同时我们也在数值上计算了与电渗透现象相关联的系数L21和与其相对应的流动电位现象系数L12。结果表明L12=L21,即满足Onsager对应关系。
张德飞[4]（2012）在《容度极限理论和非线性数学期望在金融中的应用》文中指出Kolmogorov在1933年利用Lebesgue测度和Lebesgue积分语言建立了概率论完整的公理化体系,使得概率论成为研究随机性或不确定性现象的重要理论工具,但由于概率测度和线性期望自身的可加性并不能很好的解释现实中许多的不确定（模糊）现象（例如效用理论中的Allais和Ellsberg悖论）Choquet1954年提出非可加测度理论-Choquet容度和Choquet积分,自此之后,Choquet容度有了较大的发展,例如Huber和Strassen （1973）, Walley和Fine （1982）, Schmeidler（1989）, Denneberg（1994）, Maccheroni和Marinacci（2005）, Chen（2010）等人的工作Peng在2006年从全新的角度建立了非线性期望理论体系,该理论并不从经典的概率空间出发,而直接从非线性期望空间出发定义了随机变量的独立性,借助PDE证明了非线性期望的理论基础（次线性期望下的中心极限定理）,提出了G-布朗运动和G-It6随机积分理论.由次线性期望的表示定理可知,一个次线性期望可以诱导出一个相伴的容度.受到柯尔莫哥洛夫, Choquet, Peng和Chen等人工作的启发,本论文主要研究容度下的极限理论,G-布朗运动的轨道性质和G-Ito积分及其在金融中应用等问题,获得了容度下的大数定律和中心极限定理,次线性期望下加权和的中心极限定理,利用热方程证明了一个Berry-Esseen定理,给出了次线性期望下离散鞅的一些性质和G-布朗运动的增量刻画,证明了由G-布朗运动驱动的G-SDE和G-BSDE在一定条件下的平稳性和渐近指数平稳性定理,同时也证明了G-布朗运动驱动的G-耦合正倒向随机微分方程解的存在唯一性定理.最后讨论了G-期望下的最优控制问题和G-布朗运动在最优消费和投资组合中的应用,获得了波动率不确定性下的最优消费和投资策略以及共同基金定理.具体来说,本论文包括五章的内容,它们的主要结果概括如下：在第一章中,我们主要考虑次线性期望下的加权和中心极限定理,次线性期望和线性期望下的Berry-Esseen定理,容度下的中心极限定理和弱大数定理.在§1.1节中,受到Peng [79], Li和Shi[63]的工作的启发,我们得到了次线性期望下独立不同分布随机变量加权和的中心极限定理,同时也获得了次线性期望下独立不同分布随机变量的弱大数定律,见定理1.1.8和推论1.1.12.利用上面的证明思想,我们也获得了次线性期望下的Berry-Esseen定理,见定理1.1.14.在§1.2节中,利用热方程和泰勒展开式证明了线性期望下的一个Berry-Esseen定理,见定理1.2.2.在§1.3节中,证明了由次线性期望诱导的容度下的中心极限定理：假设{Xi}i∞=1是E下i.i.d.的随机变量序列,满足E[X1]=E[-X1]=0.那么以及其中y分别是是V（y）和v（y）的连续点.在§1.4节中,首先建立了一个具有模糊性的坛子模型,通过它引入了容度（Vv）以及最大-最小期望（E,E）.在此模型的基础上,证明了对于模糊性坛子模型中的随机变量{Xi}1≤i≤n。以及任意的y∈R,有以及接着,把模糊性坛子模型扩展到了更一般的情形,见定理1.4.12.在第二章中,我们介绍了随机变量在次线性期望￡下正交的概念,获得了一些关于SL-下鞅的相关结果,证明了许多关于SL-下鞅的不等式.一个典型的结果就是Doob不等式（定理2.2.10）.Peng[77]在2006年引入了G-布朗运动和相关的平方变差过程,并获得了一些相关的重要性质.在第三章中,我们主要讨论多维G-布朗运动相互变差过程的许多有趣估计和性质,同时获得了多维G-布朗运动的Kunita-Watanabe不等式（定理3.1.20）和Tanaka公式（定理3.1.23）.受到Csorgo和Revesz [24]思想的启发,在§3.2中,我们考虑G-布朗运动的轨道性质,给出了许多有用的推论,推广了经典情形下的相关结果.简要来说,假设（Bt）t≥0是满足E[B12]=σ2,-E[-B12]=σ-2的一维G-布朗运动.若aT（T≥0）是T的非减函数并满足（i）0<aT≤T,（ii）aT/T是非减的,且（iii）T→∞lim aT/T>0或者aT三c（0<c≤T）,那么在第四章中,我们证明了在可积-Lipschitz条件下由G-布朗运动驱动的随机微分方程和倒向随机微分方程的平稳性,见定理4.1.5和定理4.1.13.受到Antonelli [4]证明方法的启发,在一定条件下,证明了以下G-耦合正倒向随机微分方程的存在唯一性：其中初值x∈R,终端值ξ∈LG2（HT；R）,以及b, h, σ, g是给定的函数且满足对任意的（x,y）∈R2, b（·,x,y）,h（·,x,y）, σ（·,x, y）, f（·,x, y）, g（·,x,y）∈MG2（[0,T];R）以及Lipschitz条件.在§4.2中,我们考虑G-SDE的指数平稳性.首先,给定一个指数平稳的随机线性系统其中初始条件X0∈LG2（Hto；Rn）,X=（X1,…,Xn）T,A是一个n×n的常数矩阵.假设该系统受到G-布朗运动的干扰,受到干扰后的系统为其中Bt是d维的G-布朗运动,以及σ：R+×Rn×Q→Rn×d满足解的存在唯一性条件,它的解记为X（t,to,Xo）,若存在正的常数C和α,使得对所有的x∈Rn以及足够大的t,‖σ（t,x）‖2≤Ce-2‖A‖tq.s.,以及那么对所有的to≥0以及Xo∈LG2（Hto；Rn）同时也考虑了更一般的形式,见定理4.2.4.在§4.3中,我们主要考虑G-期望下的最优控制问题,获得了相应的动态规划原理：对于任意的δ∈[O,T-t],有证明了值函数u（t,x）是以下一类全新的非线性二阶偏微分方程的粘性解：其中对于更复杂的情形,见定理4.3.14.Merton [72]考虑了在线性期望下波动率为常数的的最优投资组合问题,在第五章中,我们建立在G-期望框架下波动率具有不定性的最优投资组合模型,获得了最优的投资和消费规则的表达式,见定理5.2.2,同时也获得了在波动率不确定性下的共同基金定理,见定理5.3.1.为了表明最优的投资组合依赖于标的资产的最大和最小波动率,在§5.4中,我们仅考虑两种资产（股票和债券）并假设效用函数是一类特殊的效用函数,得到最优投资组合的显示表达式.
李长伟[5]（2012）在《井中激发极化法正反演及快速迭代求解技术研究》文中研究指明井中激发极化法是勘查多金属和贵金属硫化物矿床,尤其是寻找深部盲矿体优先选用的井中物探方法。研究适用于起伏地形和复杂井眼环境条件下高效率、高精度的正演模拟算法以及稳健可靠的快速反演算法具有理论意义和应用价值。有限元法具有网格剖分灵活,求解过程规范的优点,适合复杂地球物理模型的模拟。在正演的基础上根据正则化原理建立反演目标函数,对目标函数求极小实现反演问题的求解。三维正反演问题一般采用迭代法来求解其中的线性方程组和优化问题,迭代求解技术是影响正反演计算效率的关键因素。本文研究了井中激发极化法的三维正反演,以及求解线性方程组和优化问题的快速迭代求解技术。考虑到井中激发极化法的不同测量方式（井-地,地-井,井-井）,以及深度方向上大尺度的网格剖分及井眼的影响等,在正演模拟中采用放射状三棱柱单元结构化网格,结合非结构化网格对模拟区域离散,提高了网格质量,减少了网格单元数,解决了考虑井眼影响时的模拟问题。进一步利用仿射坐标变换对三棱柱单元做单元分析,实现了显式的单元积分。其与采用等参变换和高斯数值积分相比,可以大大缩短获得刚度矩阵所需的时间。对有限元方程作右端项校正,在保证计算精度的前提下有效地减小了计算区域和剖分网格单元数。在边值问题的处理中,采用人工截断边界方式,在边界上施加混合边界条件能获得较好的模拟效果。在实际勘探工作中通常涉及到多个源电极布置,不同的源电极对应着不同的有限元方程,从而生成了一序列线性方程组。根据Krylov子空间迭代法的收敛性分析,将体积分项和边界积分项分开进行计算和存储,并选择一个适当的线性方程组作为种子系统预先求解,利用在此过程中生成的子空间信息以加速其余线性方程组的求解过程,得到了求解序列线性方程组的循环Krylov子空间预条件共轭梯度法（PCG）算法。该算法的收敛性与序列线性方程组各系数矩阵之间的差异程度和右端项的靠近程度相关,通过构造新的右端项更靠近的序列线性方程组可进一步提高方法的计算效率。根据正则化原理实现了反演问题的求解。讨论了正则化参数的选择,光滑约束矩阵的构造方法。为降低反演问题的不适定性,正反演采用不同的网格系统,反演用尽量少的网格单元,正演网格在反演网格的基础上进行加密。利用Jacobian-free Krylov子空间技术,不直接求取和存储Jacobian矩阵,只计算Jacobian矩阵与向量的乘积。用不精确的Krylov子空间法求解Gauss-Newton模型修正量方程,可减少迭代次数,降低计算量。在视电阻率反演的基础上,进一步实现了视极化率的正反演。
熊骏,曾鹏[6]（2011）在《无穷限积分integral from n=a to +∞ （f（x）dx）中被积函数f（x）的渐近分析》文中提出讨论了收敛的无穷限积分integral from n=a to +∞ （f（x）dx）中被积函数limx→+∞f（x）=0的充分条件以及在一些条件下limf（x）=0的速度,得到了如下结果:若无穷限积分integral from n=a to +∞ （f（x）dx）收敛且极限limx→+∞f（x）存在,则limx→+∞f（x）=0;若无穷限积分integral from n=a to +∞ （f（x）dx）收敛,且f（x）在[a,+∞)上一致连续,则limx→+∞f（x）=0;若无穷限积分∫+∞af（x）dx收敛且f（x）在[a,+∞)上单调,则limx→+∞xf（x）=0,即f（x）=o1（x）,x→+∞;若无穷限积分integral from n=a to +∞ （f（x）dx）收敛（p>0）,且f（x）在[a,+∞)上单调,则limxp+1 f（x）=0。
钟勇[7]（2011）在《几类算子在一些函数空间上的估计》文中研究表明算子的有界性是调和分析以及偏微分方程中一类非常重要的问题。很多问题都与其密切相关,如Fourier级数的收敛性、偏微分方程解的适定性等。本文主要是研究几类算子在一些函数空间上的估计,共分为五章。第一章主要研究的是分数次积分算子Iα及双线性分数次积分算子B。在模空间Mp,q（R”）上的有界性。众所周知,在经典的Lebesgue空间Lp（Rn）上很多算子都不是有界的,于是我们就用其他的函数空间来替代它。其中比较重要的一个就是模空间Mp,q（Rn）,它的定义将在本章第二节给出。近些年来,模空间及其应用吸引了很多人的关注,读者可以参见文献[7、19、60、61、63、64、66]。特别是在最近的研究工作中,我们得知幺模Fourier乘子算子Sβ（t）=eit|Δ|θ/2在Mp,q（Rn）上是有界的,这里的p,q∈[1,∞],可见文献[5、9、10、11、12、45]。而Sβ（t）=eit|Δ|β/2的象征为eit|ξ|β（β>0,t∈R）,它在调和分析以及偏微分方程中都有非常重要的作用。我们知道S1（t）、S2（t）、S3（t）分别与波方程、Schrodinger方程、Airy方程有着密切关联。一般情况下,除p=2外,Sβ（t）=eit|Δ|β/2在任何Lp（Rn）空间上都是无界的。因此,在研究Sβ（t）的有界性时,模空间便是Lp（Rn）空间的一个很好的替代。有了这些研究工作之后,很自然地就会想到去研究除Sβ（t）之外的其他算子是否在模空间上具有与其在Lebesgue空间Lp（Rn）上不同的有界性性质。本章讨论的一个重要算子就是分数次积分算子Iα,其定义如下这里下面的定理是分数次积分算子在Lebesgue空间Lp（Rn）和Hardy空间Hp（Rn）上有界性估计的基本结果。这里我们记Hp（Rn）=Lp（Rn）（1<p<∞）。定理A（[16]）设Hp（Rn）为Hardy空间,0<p1,p2<∞,0<α<n,若则分数次积分算子Iα是从Hp1（Rn）到Hp2（Rn）的有界算子。最近,在文献[60]中,Sugimoto和Tomita将定理A的结论延拓到模空间上,他们得到了如下定理。定理C（[60]）设0<α<n,1<p1,p2,q1,q2<∞。分数次积分算子Iα是从Mp1,ql（Rn）到Mp2,q2（Rn）的有界算子,当且仅当对比定理A和定理C,不难发现分数次积分算子Iα的有界性在模空间上p1、p2的范围要比在Lebesgue空间上大。因此,将定理C中条件1<p1,p2,q1,q2<∞放宽或者去掉就是一个很有意思的问题。受此启发,我们讨论了在没有条件1<p1,p2,q1,q2<∞时,Iα从Mp1,q1（Rn）到Mp2q2（Rn）的有界性。当0<p≤1时,我们利用Hp范数去定义Modulation Hardy空间μp,qs（Rn）,且μp,qs（Rn）-Mp,qs（Rn）（P>1）,详细定义可见本章第二节。下面两幅图表示分数次积分算子Iα的有界性中指标（1/p,1/r）的范围。在图1和图2中,以（α/n,0）为端点的射线是由所有满足Iα从Hp（Rn）到Hr（Rn）有界的指标对（1/p,1/r）组成,含边界的阴影部分是由所有满足Iα从μp,q2（Rn）到μrq1（Rn）有界的指标对（1/p,1/r）组成,此时q1,q2满足1/q2≤1/q1+α/n。此外,利用模空间的等价定义,我们简化了文献[60]中给出的定理C充分性的证明,同时对其必要性也做了推广。下面给出我们的结果。定理1.1设0<p≤1,0<q<∞,0<α<n,若则定理1.2设0<α<n,1<p<∞,0<q1<∞,0<q2≤∞,若则Iα是从Mp,q1（Rn）到M∞,q2（Rn）的有界算子。反之,设p>1,0<q1<∞,0<q2≤∞,若Iα是从Mp,q1（Rn）到M∞,q2（Rn）的有界算子,则在文献[27]和[33]中,作者引入了双线性分数次积分算子Bα作为Iα的推广,其定义为并且得到了Bα在Lebesgue空间Lp（Rn）上的估计。定理B（[27][33]）设1≤p1,p2≤∞,0<α<n,若对所有f∈Lp1（Rn）,g∈Lp2（Rn）,有如下结论：（1）当Pi>1,i=1,2时,有（2）当Pi≥1,i=1,2,且p1和p2至少有一个为1时,有与Iα类似,这里我们也考虑了Bα在Mp,q（Rn）上的有界性,并得到了下面的结果。定理1.4若0<α<n,1<p<n/n-α,0<q<∞,则特别地,若1<p<n/n-α,p≤q,则第二章主要研究的是三类求和平均算子即Poisson求和PN、Gauss求和GN、Bochner-Riesz求和BNδ以及它们的极大算子只、G*、B*δ在Triebel-Lizorkin空间Fpα,q（Rn）（0<p≤1）上的有界性。设N≥1,这三个算子依次定义如下相应的极大算子分别定义为我们知道这三个算子及其极大算子在研究Fourier级数球型求和时起着重要作用。为了研究Fourier级数在某（quasi）Banach空间X上的收敛性,我们通常要得到这些算子在X上的有界性。进一步地,若要得到点态收敛性,我们就要考虑相应的极大算子在X上的有界性。本章主要是讨论X为Triebel-Lizorkin空间Fpα,q（Rn）（0<p≤1）时的情形,其定义将在本章第二节给出。在文献[43]中,Lu和Yang得到了BNδ在Fpα,q（Rn）上的有界性。定理D（[43]）设α∈R,0<p≤1,0<q≤∞,令J=n/min{p,q},若则BNδf是Fpα,q（Rn）上的有界算子。即这里的常数C与N及f均无关。受此启发,我们也希望得到PN和GN在Fpα,q（Rn）上的有界性。另一方面,PN和GN都是Hp（Rn）有界的,同时HP（Rn）≈Fp0,2（Rn）,所以将它们的有界性推广到一般的Fpα,q（Rn）上也是很自然的想法。综合这两方面的考虑,我们得到了下面的结果。定理2.1设α∈R,0<p≤1,0<q≤∞,则PN,GN都是Fpα,q（Rn）上的有界算子。即这里的常数C与N及f均无关。本章的第二部分结果是三个极大算子P*、G*、B*δ在Fpα,q（Rn）上的估计。对于B*δ, Stein、Taibleson和Weiss得到了它在Hp（Rn）上的弱型估计,参见文献[59]。定理E（[59]）设0<p<1,令δ=n/p-n+1/2,则这里的常数C与入及f均无关。与定理2.1的想法类似,我们希望将上面的结果推广到一般的Fpα,q（Rn）上。幸运的是,通过对FPα,q（Rn）原子分解的仔细观察,我们得到了下面的结果。定理2.2若δ>n-1/2,α>n,n/a+δ+n+1/2<p<min{n/α,q},则这里的常数C与f无关。注记2.3对固定的p、α,定理2.2中的条件可等价为对δ的要求易知,δ=n/p-n+1/2满足上述条件。也就是说,我们对δ的要求更低,尽管有α>n的限制。例如,取n=3,p=1/100,q=2,则在定理E中δ=298,而在定理2.2中我们只要求δ>298-α（α>3）。注记2.4在定理2.2中,若将B*δ换成P*或者G*,也有类似的结论,证明与定理2.2类似。尽管注记2.4中已得到了P*和G*在Fpα,q（Rn）上的估计,但我们觉得这个结果还是很弱的。于是,我们重新考虑了这种情形,发现利用Han、Paluszynski和Weiss引入的Fpα,q（Rn）新的原子分解,可以得到只和G*在Fpα,q（Rn）上的一个强型估计。定理2.5设0<p<1<q<∞,0<a<1,则只和G*均是从Fpα,q（Rn）到L∞（Rn）有界的。第三章主要研究的是Hausdorff算子Hφ在局部Hardy空间h1（R）、Triebel-Lizorkin空间Fpα,q（R）（0<p≤1）、模空间Mp,q（R）三类函数空间上的有界性。给定一个定义在（0,∞）的函数φ,Hausdorff算子定义为当φ（ξ）=α（1-ξ）α-1X（0,1）（ξ）时,Hφ就是所谓的α阶Ces-ro算子Cα。对于离散的级数求和形式,早在上世纪20年代末,Hardy证明了如果∑n=0∞αncosnx是一个Lp（0,π）（1≤p≤∞）函数的Fourier级数,则∑n=0∞（Ta）ncosnx也是,其中（Ta）0=αo,（Tα）n=a1+α2+…+αn/n,并且对正弦级数也有同样的结论,具体可参见文献[30]。在文献[34]中,Kinukawa和Igari证明了如果∑n=1∞bnsinnx是一个Fourier级数,则共轭级数∑n=1∞（Tb）ncosnx也是一个Fourier级数。Siskakis在文献[55]中得到了在单位圆盘Hardy空间H1（D）上的估计,设f=∑k=0∞akzk,则算子C*f（z）=∑n=0∞[（n+1）-1∑k=0∞αk]zn在H1（D）上是有界的。对实直线上的情形,Goldberg研究了当1≤p≤2时,算子Hφ在Lebesgue空间Lp（R）上的作用性质（[26]）。在文献[23]中,Georgakis讨论了Hφ作用在复有界Borel测度上的Fourier解析性质,作为一个特例,他证明了当φ∈L1（R）时,Hφ是L1（R）上的有界算子。最近几十年,人们主要关注的是Hausdorff算子在Hardy空间上的有界性。为了叙述方便,我们先定义两个数：显然,若Aφ,p<∞,则Hφ是Lp（R）上的有界算子。不仅如此,在文献[39]中,Liflyand和Moricz得到了如下定理。定理J（[39]）若Aφ,1<∞,则Hφ是H1（R）上的有界算子。因此,当Aφ,1<∞时,Hφ同时是L1（R）和H1（R）上的有界算子。而我们知道局部Hardy空间h1（R）（具体定义见本章第一节）与Lebesgue空间L1（R）、Hardy空间H1（R）有如下嵌入关系：那么很自然地就会问Hφ在h1（R）上是否有界?本章第一个结果就是回答这个问题。定理3.1若Aφ<∞,则Hφ是h1（R）上的有界算子。当0<p<1时,Liflyand和Miyachi讨论了Hφ在HP（R）上的有界性,得到了如下结果。定理K（[40]]）设0<p<1,M=[1/p-1/2]+1。若φ∈CM,且suppφ是（0,∞）中的一个紧子集,则Hausdorff算子Hφ是Hp（R）上的有界算子。与定理2.3的原始想法一致,我们希望将定理K的结果推广到Fpα,q（R）上。由此,我们得出了本章的第二个定理。定理3.2设0<p≤1,0<q<∞,α∈R,令J=1/min（p,q）,[α]+max（0,[α]）,L为大于max（J-2,[J-1-α]）的最小正整数。若φ∈CL+2+[α]+且suppφ是（0,∞）中的一个紧子集,则存在依赖于p,q,α,φ的常数C使得对任意的f∈S（R）,有进一步地,HH-可以延拓成Fpα,q（R）上的有界算子。我们知道,研究非卷积型算子在模空间上的估计是一个很有意思的问题。而HH-就是一个非卷积型算子。因此,本章最后讨论了Hφ在模空间上的估计。结合第一章模空间的定义及其相关性质,我们比较容易地得到了Hφ在Mp,q（R）上的估计。但由于模空间范数关于展缩变换的估计式比较复杂,我们只给出下面两个定理。定理3.3设1≤p≤q≤∞,令则存在与φ及f无关的常数C使得定理3.4（i）设1≤p≤2,若φ满足则Hφ是模空间Mp,p（R）上的一个有界算子。（ii）设2≤p≤∞,若φ满足则Hφ是模空间Mp,p（R）上的一个有界算子。第四章主要研究的是极大函数Mω（|f|p）1/p和Mf在加权Orlicz-Morrey空间上的有界性,同时也给出了极大函数Mω（|f|p）1/p在其上有界的必要条件。我们知道Orlicz空间是Lp（Rn）空间一种重要的推广,其作用体现在刻画Hardy-Littlewood极大函数在L1（Rn）附近的有界性[15、35、36]。在文献[46]中,Morrey首先引入了Morrey空间来估计偏微分方程的解,后来Chiarenza、Nakai等人考虑了Hardy-Littlewood极大函数在其上的有界性[14、47、49]。最近,Nakai引入Orlicz-Morrey空间作为Orlicz空间和Morrey空间的统一体,同时给出了Hardy-Littlewood极大函数在其上有界的充要条件,如下定理。定理L（[48]）设φ,ψ∈y,φ,ψ∈g,则下面两个条件等价：（i）存在A≥1,使得此外,若则（ⅱ） Hardy-Littlewood极大函数Mf是从Lφ,φ（Rn）到Lψ,ψ（Rn）的有界算子。在文献[8]中,Bloom和Kerman给出了极大函数Mf在加权Orlicz空间上有界性。而在文献[38]中,Komori和Shirai讨论了极大函数Mf和Mωf在加权Morrey空间上的有界性。本章的主要目的是研究极大函数Mω（|f|p）1/p和Mf在加权Orlicz-Morrey空间上的有界性。同样,加权Orlicz-Morrey空间可作为加权Orlicz空间和加权Morrey空间的统一体。首先,我们给出一些必要的定义：g={φ：（0,∞）→（0,∞）：φ几乎单调递减,φ（r）r几乎单调递增}y={Young函数φ：任意的r∈（0,∞）,0<φ（r）<∞}。给定Young函数φ,φ∈g,权函数ω,Rn中的球B,记定义4.4给定Young函数φ,φ∈g,权函数ω,加权Orlicz-Morrey空间定义为当ω三1时,上述空间就是Nakai引入的Orlicz-Morrey空间。给定Young函数φ和p∈[1,∞),令φ（r）：=φ（P）,则φ也是一个Young函数。此外,如果中∈y,则φ∈y。下面我们给出本章讨论的极大函数。定义4.9对给定的p∈[1,∞),加权Hardy-Littlewood极大函数定义为而Mf表示经典的Hardy-Littlewood极大函数。对于权函数类,我们仍用Ap（1≤p≤∞）表示经典的Muckenhoupt权,详细定义在本章第二节,同时我们引入下面的权类：A*={ω（x）：存在C>0,对任一方体Q,A∈Q,使得ω（A）/ω（Q）≥C|A|/|Q|｝。显然A1∈A*。下面给出我们的主要结果。定理4.1设φ,ψ∈y,φ,ψ∈g,ω∈A∞,p∈[1,+∞),如果存在常数A>0,使得此外,若有则Mω（|f|p）1/p是从Lφ,φ,ω（Rn）到Lψ,φ,ω（Rn）的有界算子。推论4.2在定理4.1的条件下,Mω（|f|r）1/r（r∈[1,p]）和Mf均是从Lφ,φ,ω（Rn）到Lψ,ψ,ω（Rn）的有界算子。定理4.3设φ∈Δ2,ψ∈y,φ,ψ∈g,p∈[1,+∞),若Mω（|f|p）1/p是从Lφ,φ,ω（Rn）到Lψ,φ,ω（Rn）的有界算子,ω∈A*,ω（Rn）=∞,则存在常数A>0使得（4.1）、（4.2）两式成立。第五章主要研究的是Dirac算子H零模和零共振的一些性质。我们先给出Dirac算子的定义。记三个2×2 Pauli矩阵为令α=（α1,α2,α3）为一个三维矩阵值向量,其中设Q（x）=（qij（x））i,j=1,…,4为一个在无穷远处消失的4x4 Hermitian矩阵值函数,即每个qij在无穷远处消失。Dirac算子定义为当Q（x）三0时,记H0=α·D。事实上,Dirac算子是经典的（?）Veyl-Dirac算子的一般化,参见文献[4]。而文献[22]中提到,在磁场Coulomb系统的稳定性研究中,Weyl-Dirac算子零模（即其零特征值的特征函数）的存在性起着非常重要的作用。Loss和Yau首先构造出了、Veyl-Dirac算子的零模,并且他们的结果在文献[22]中得到了很好的应用。从数学和物理的角度来看,算子的零模有着丰富的应用,具体可见文献[1、2、4]。而最近的相关工作,读者可以查看文献[50、53]。一般对矩阵Q,我们假设下面的速降条件。条件5.1 Q（x）=（qij（x））i,j=1,…,4,每个qij（x）都是R3上的可测函数,满足定义5.2若f∈DomH=H1（R3）,且则称f为算子H的零模。若存在s>0,f∈L2,-s（R3）L2（R3）,在广义意义下成立此时称f为算子H的零共振。在文献[54]中,Saito和Umeda讨论了H的零模和零共振的性质,得到了下面的结果。定理M（[54]）若存在ρ>1使得条件5.1成立,f为一个零模,则（ⅰ）存在常数C=Cp,f,对任意的x∈R3,成立（ⅱ）f是R3上的一个连续函数。定理N（[54]）若存在ρ>3/2使得条件5.1成立,f∈c2,-s（R3）,0<s≤min{3/2,ρ-1},且广义下成立Hf=0,则f∈H1（R3）。本章就是利用简单的方法,推广了上面的结果,主要是放宽了上述结论中对ρ的要求。这里需要注意的是用文献[54]中原来的方法,不能得到我们的结果。定理5.3若存在ρ∈(1/2,1]使得条件5.1成立,f为一个零模,则（ⅰ）任意的ρ’<ρ,存在常数C=Cρ,ρ’>0,对所有x∈R3,成立（ⅱ）f是R3上的一个连续函数。定理5.4若存在ρ>1使得条件5.1成立,f∈L2,-s（R3）,0<s≤min{3/2,ρ-1},且广义下成立Hf=0,则f∈H1（R3）。
于志勇[8]（2008）在《随机控制和对策理论中的一些倒向问题》文中认为倒向随机微分方程（BSDE）主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标．其理论自创立以来，在随机控制和对策，数理金融，偏微分方程，非线性数学期望等领域取得了广泛的应用．这篇论文旨在发展和完善BSDE理论，以更好的研究随机控制和对策中出现的倒向问题．在随机控制和对策问题中，无论是用BSDE来描述代价（或者效用）泛函，还是用BSDE来描述控制系统，这些问题的核心是BSDE理论．甚至BSDE本身也是一类随机控制问题．因此，BSDE理论的进步和完善无疑会促进一些控制和对策问题的进展．这篇论文的第二，三章致力于BSDE理论本身的研究．在第二章中，我们得到了BSDE理论的一个基础性的结果：解的唯一性和连续依赖性是等价的．在BSDE的系数g满足Lipschitz条件的前提下．BSDE的解对参数的连续依赖性由下面的不等式所表达：由此推演出丰富多彩的成果．我们的结论在某种程度上可以看作上面不等式在非Lip-schitz条件下的对应物，它为非Lipschitz条件下的BSDE的研究提供了一个有力的工具．不同于（正向的）随机微分方程，BSDE的解由两个部分（Y，Z）组成．虽然目前关于BSDE的结论大部分集中在解的第一部分Y上，但是了解Z同样是非常重要的．这篇论文的第三章研究了相当于控制策略的解的第二部分Z的一些基本性质，例如有界性，倒向生存性，比较性质等．Z在金融衍生产品定价理论中代表投资组合，我们的结论可以对投资组合中风险资产价值的正负，大小，区间有清晰的刻划．作为Z的有界性质的另一个应用，我们处理了一类由Bcnsoussan和Frehsc[6]提出的随机对策问题．在随机控制理论中，有一类指标泛函是用BSDE的解来描述的．例如：在效用理论中，经济学家使用BSDE的解来描述递归效用．为使效用最大化，产生了一类递归最优控制问题．彭实戈在[59；74]中系统而深入的研究了这类问题．然而，在实际问题中，有时人们会要求自己的效用高于某条“底线”，也就是说，BSDE的解要大于等于某个随机过程．这需要我们用反射BSDE的解来描述这种带障碍约束的递归效用，相应的产生一类带障碍约束的递归最优控制问题．在金融市场中，当贷款利率高于存款利率时．美式未定权益的定价问题是这类控制问题的一个具体的例子．在这篇论文的第四章，我们针对这类带障碍约束的递归最优控制问题进行了研究，得到了动态规划原理．并证明了值函数是相应的HJB方程唯一的粘性解．这一部分工作深受彭实戈[74]的工作的启发．由于BSDE是一类具有良好结构的动态系统，自然的，我们去研究以BSDE作为控制系统的随机控制问题和对策问题，我们称之为倒向随机控制问题和倒向随机对策问题．这类问题有实际的意义．在达到某个给定的随机目标的前提下，使自己的代价最小（或者效用最大），这可以看作倒向随机控制问题．例如追击问题等．多个人合作去达到一个共同的随机目标，而每个人又希望自己付出的代价最小（或者自己获得的效用最大），这类合作博弈可以看作倒向随机对策问题．目前，关于倒向随机控制问题的研究很少，而在本文之前，关于倒向随机对策问题的研究更是空白．在这篇论文的第五章，我们研究了倒向随机控制和对策（也研究推广的部分耦合的正倒向情形）的一类重要情形：线性二次问题．得到了唯一的最优控制（对于控制问题）和唯一的Nash均衡点（对于对策问题）的显式表达．本文共分为五章，以下是本文的结构和得到的主要结论．第一章：介绍从第二章到第五章我们讨论的问题，背景及想法．第二章：研究连续系数的BSDE解的唯一性和连续依赖性之间的等价关系．正如常微分方程的理论，这个性质是BSDE理论中的一个基本的结论．这部分的主要结果是下面的定理2．2．1（简单情况）和定理2．3．4（一般情况）．定理2．2．1．如果g满足假设（H2．1）-（H2．3），那么下面的两种陈述是等价的．（i）唯一性：方程（2．1）的解唯一．（ii）关于ζ的连续依赖性：任给{ζn}n=1∞，ζ∈L2（Ω，FT，P；R），当n→∞时，如果ζn→ζin L2（Ω，FT，P；R），那么其中（yζ（·），zζ（·））是BSDE（2．1）的任意的一个解，(yζn（·），zζn（·）)是BSDE（g，T，ζn）的任意一个解．定理2．3．4．如果gλ矿满足假设（H2．1’）-（H2．4’），那么下面的陈述是等价的：（iii）唯一性：当λ=λ0时，BSDE（2．8）的解唯一，即，BSDE(gλ0，T，ζλ0)的解是唯一的．（iv）关于9和ζ的连续依赖性：任给ζλ，ζλ0∈L2（Ω，FT，P；R），当λ→λ0时，如果ζλ→ζλ0 in L2（Ω，FT，P；R），（yλ（·），zλ（·））是BSDE（2．8）的任意的一个解．(yλ0（·），zλ0（·）)是BSDE（2．8）当λ=λ0时的任意一个解，那么第三章：使用Malliavin分析的工具，我们研究BSDE的解的第二部分Z的某些性质，例如有界性，倒向随机生存性（BSVP），比较性质．命题3．2．1．（有界性）令假设（A3．1）和（A3．2）成立．假设Dθζ和Dθg有界，那么我们有其中C是一个常数．特别地，Zθ=DθYθ有界．定理3．2．7．（BSVP）假设g满足（A3．1）-（A3．3）．如果（?）0≤θ≤t≤T，（?）z∈Rm×d×d，（?）y∈Rm×d，dK2（·）在y点是二次可微的，并且那么BSDE（3．1）的解Z在K中生存．定理3．2．12．（比较性质）假设g1和g2满足（A3．1）-（A3．3）．对于任意的0≤θ≤τ≤T，（?）ζ1，ζ2∈(D1，2)m∩L2（Ω，Fτ，P），我们有Dθζ1≥Dθζ2，（Yi，Zi）（i=1．2），是BSDE（3．19）在时间区间[0，τ]上的唯一解．任给t∈[0，τ]，y，y′∈Rm×d，z，z′∈Rm×d×d，如果下面的不等式成立，那么Zt1≥Zt2，t∈[0，τ]．然后，我们将这些理论结果应用到数理金融中．由于Z可以代表复制衍生产品价格的资产组合，利用我们得到的关于Z的性质，可以对风险资产价值的正负，大小，区间有清晰的刻划．在这一章的最后，我们处理了一类随机非零和微分对策问题．这个对策问题来源于Bcnsoussan和Frchsc[6]，但是他们利用偏微分方程的方法，只能够处理Markovian情形．我们利用Malliavin变分技术和Z的有界性质，在non-Markovian情形下得到了一个Nash均衡点的显式表达，有很好的实际应用意义．定理3．5．2．令假设（H3．2）-（H3．5）成立，u*=（u1*，…，ui*，…，uN*），其中ui*由（3．57）式定义，是随机非零和微分对策问题的一个Nash均衡点，Ji（x，u*）=Yi*（0）=Ji(x，ui，（u|-）i*．其中ui是任意的容许控制u的第i个分量（i=1，2，（?）N），（Yi*（·），Zi*（·））是BSDEs（3．56）的一个解．第四章：我们研究了一类带有障碍约束的递归最优控制问题，即，控制系统的效用泛函由一个反射BSDE（带一个下反射边界）所描述．具体来说，我们考虑下面的控制系统：相应的效用泛函为：其中(Yt，x；v（·），Zt，x；v（·），Kt，x，v（·）)是下面的反射BSDE的解我们要使效用泛函达到最大值．定义值函数为这类递归最优控制问题在金融市场中有应用．在借贷款利率不同的时候，美式衍生证券定价问题就可以转化为该类带有障碍约束的递归最优控制问题．一个直观的问题是：对于该类最优化问题，经典的动态规划原理是否成立?我们证明了一些反射BSDE的性质，使用彭实戈[74]的思想和框架，借助于这些性质和分析技巧，我们得到了值函数的确定性和连续性，证明了推广的动态规划原理（DPP）对该类问题依然成立．命题4．2．6．（确定性）令假设（H4．2．1）-（H4．2．4）成立，由（4．10）定义的值函数u（t，x）是一个确定的过程．引理4．2．8．（关于x的连续性）任给t∈[0，T]，x，x′∈Rn，我们有（ii）|u（t，x）|≤C（1+|x|）．定理4．2．11．（DPP）在假设（H4．2．1）-（H4．2．4）下，值函数u（t，x）服从下面的动态规划原理：对任意的0<δ≤T-t，命题4．2．12．（关于t的连续性）在假设（H4．2．1）-（H4．2．4）下，由（4．10）定义的值函数u（t，x）关于t连续．在这一章的最后，我们使用惩罚方法和一些粘性解的技巧，证明了值函数u（t，x）是下面的Hamilton-Jacobi-Bcllman（HJB）方程的唯一的粘性解：定理4．3．6．（存在性）假设b，σ，g，Φ，h满足假设（H4 2．1）-（H4 2．4），那么，由（4．10）定义的u是HJB方程（4．20）的一个粘性解．定理4．3．10．（唯一性）假设b，σ，g，Φ，h满足假设（H4．2．1）-（H4．2．4），那么，在多项式增长的连续函数类中，HJB方程（4．20）至多存在一个粘性解．第五章：首先，我们研究BSDE的线性二次（LQ）对策问题．这类问题是相应的倒向控制问题的推广（见Lim和周迅宇[47]），可以用来描述合作对策．为了记号上的便利，我们仅考虑两个对手，此时系统是相应的代价泛函为：我们的问题是去寻找称为对策的Nash均衡点的（u1（·），u2（·）），使得我们将这个对策问题和一个线性的初始端耦合的正倒向随机微分方程（FBSDE）联系起来．使用“连续化方法”，我们得到这类初始端耦合的FBSDE解的存在唯一性结果．定理5．1．3．令假设（H5．1．1），（H5．1．3）成立．FBSDE（5．1）存在唯一一个适应解（X，Y，Z）．应用这个结果和一个变换，我们研究这类倒向LQ对策问题．最终得到唯一的一个Nash均衡点的显式表达．定理5．1．6．函数（ut1，ut2）=(（N1）-1（B1）τxt1，（N2）-1（B2）τxt2)，t∈[0，T]，是上面对策问题的一个Nash均衡点，其中（xt1，xt2，yt，zt）是不同维FBSDE（5．7）的解，接下来，使用相同的思想方法，我们考虑推广的问题：部分耦合的FBSDE的LQ控制和对策问题．这里，问题更加复杂．由于状态轨线为正倒向随机系统的解，因此可以有更广泛的实际应用前景．为解决这类问题，我们需要考虑双倍维数的FBSDE的存在唯一性问题．相应的结果为定理5．2．2．假设（H5．2．1）和（H5．2．2）成立．那么双倍维数的FBSDE（DFBSDE）（5．10）存在唯一的适应解（X，Q，P，Y，K，Z）．定理5．2．4．映射ut=-Rt-1（Btτpt+Dtτkt-Htτqt），t∈[0，T]，是LQ控制问题（5．17）-（5．18）的唯一的最优控制，其中（xt，qt，pt，yt，kt，zt）是DFBSDE（5．19）的解．定理5．2．7．我们假设x的维数和y的维数相同：n=m．（a）如果系统（5．20）满足Dt1≡0，Dt2≡0，Ht1≡0，并且对于i=1，2，矩阵值过程Bti（Rti）-1（Bti）τ不依赖于t，并且那么，映射（ut1，ut2）=(-（Rt1）-1（Bt1）τpt1，-（Rt2）-1（Bt2）τPt2)，t∈[0，T]，是对策问题（5．20）-（5．21）的唯一的Nash均衡点，其中（xt，qt1，qt2，pt1，pt2，yt，kt1，kt2，zt）是TFB-SDE（5．23）的唯一的解．（b）如果系统（5．20）满足Bt1≡0，Bt2≡0，Ht1≡0，Ht2≡0，并且对于i=1，2，矩阵值过程Dti（Rti）-1（Dti）τ不依赖于t，并且那么，映射（ut1，ut2）=(-（Rt1）-1（Dt1）τkt1，-（Rt2）-1（Dt2）τkt2)，t∈[0，T]，是对策问题（5．20）-（5．21）的唯一的Nash均衡点，其中（xt，qt1，qt2，pt1，pt2，yt，kt1，kt2，zt）是TFB-SDE（5．23）的唯一的解．（C）如果系统（5．20）满足Bt1≡0，Bt2≡0，Dt1≡0，Dt2≡0，并且对于i=1，2，矩阵值过程Hti（Rti）-1（Hti）τ不依赖于t，并且那么，映射（ut1，ut2）=(（Rt1）-1（Ht1）τqt1，（Rt2）-1（Ht2）τqt2)，t∈[0，T]，是对策问题（5．20）-（5．21）的唯一的Nash均衡点，其中（xt，qt1，qt2，pt1，pt2，yt，kt1，kt2，zt）是TF-BSDE（5．23）的唯一的解．
王耘[9]（2008）在《粗糙集与粗糙函数模型研究》文中研究指明本论文讨论粗糙集理论和粗糙函数模型的若干相关问题。主要研究内容包括:粗糙函数模型基本理论的深化和推广,粗糙函数模型中粗糙隶属函数及其性质讨论,粗糙函数模型中粗柯西数列的若干数学特性,以及离散函数的粗连续性讨论,粗糙函数模型中粗微积分及其应用,等等。第一章是对粗糙集相关理论的简要综述。主要介绍了粗糙集提出的背景与发展概况,粗糙集理论的研究领域与现状,以及粗糙集理论的基本概念。第二章深化和推广了基于粗糙集理论的粗糙函数模型。Pawlak的粗糙函数模型未给出任一实数在实轴和标度两种度量下的离散化形式,其中粗糙函数的定义未能反映出粗糙函数定义和取值于整数集的显着特征。从数学的角度来看,这种定义是不严格的;从应用的角度来看,这种定义形式下的粗糙函数是不适于计算机及粗糙控制等方面的应用的。本章对Pawlak粗糙函数模型的基本概念进行改进,第二节提出标度上（下）近似,实轴上（下）近似两对近似算子的概念,并分析二者的性质及其对偶特性,给出标度双射定理及相关命题和结论。第三节以不可分辨关系为出发点,将两对近似算子推广到二维平面,建立新的实轴-标度粗糙函数模型（RL-S粗糙函数模型）。第三章对粗糙函数模型中的粗糙区间与粗糙隶属函数及其性质展开讨论。在实轴-标度粗糙函数模型（RL-S粗糙函数模型）的理论框架下,第二节定义了粗糙函数模型中的粗糙数、粗糙区间等概念,通过分析得出粗糙区间类似于粗糙集的一系列运算性质。第三节讨论了粗糙隶属函数及其性质并利用粗糙隶属函数给出粗糙区间另一种形式的等价定义。利用实数域上的上下近似算子及粗糙隶属函数两种工具,第四节分别定义粗糙区间的粗包含与粗相等关系,并分析其诸多性质。提出两个定理说明了粗糙区间的粗包含与粗相等的两种定义形式在考虑粗糙区间边界信息的附加条件下是等价的。第四章讨论粗糙函数模型中粗柯西数列的若干数学特性。粗糙函数模型基于对应某一标度的不可分辨关系,将实数轴划分成由点及开区间构成的等价类,即将实轴离散化。离散化后的实轴上也存在数列这一概念,那么实轴的离散化对数列的影响是什么,离散化后实轴上的数列又有什么相同和不同的性质?这些问题在Z.Pawlak的粗糙函数模型中并未涉及。针对以上问题,本章第二节定义并讨论实轴离散化后,粗柯西数列的收敛性。给出实数轴离散化后与收敛数列极限唯一性定理截然相反的性质,即提出粗收敛数列粗极限的不唯一性定理。讨论了收敛与粗收敛、发散与粗发散的逻辑关系,并对相关结论的直观意义予以说明。第三节定义了粗有界性等概念,分析了有界性与粗有界性的关系。分别提出粗收敛的必要条件和充分条件。第四节给出离散化数轴上粗柯西数列与其子列的关系定理及其推论,并以不可分辨关系为出发点对相应例子加以说明。第五章研究粗糙函数模型中的粗连续离散函数及其性质。对于定义和取值于实数轴的一般实函数,其中一类重要的函数就是连续函数,而在粗糙函数模型中,粗糙连续性也是其中离散函数的一个首要性质。关于离散函数的粗糙连续性,Pawlak仅给出其定义和以充要条件的形式给出粗连续函数的介值定理,并未加证明。而其他少有的相关文献也未对该理论进行探讨。关于粗糙函数模型及粗糙连续性等相关理论和应用的完善是一个亟待解决的问题。事实上,Pawlak给出的粗糙连续性定义与实函数的连续性定义是没有可比性的,而Pawlak改进后的介值定理中的充要条件是不满足的,即只成立粗连续的必要条件,充分条件不成立。为此我们提出以下问题:Pawlak粗糙连续性与实函数的连续性有何关系?它满足什么运算性质?闭区间上连续实函数的性质定理对粗糙连续离散函数是否成立,如何证明?粗糙函数模型中的离散函数是否也存在不动点的相关概念和理论?等等。本章针对以上问题展开讨论。第二节以与经典连续的ε-δ定义相类似的形式给出离散函数粗连续的概念,并且证明了粗糙连续性的ε-δ定义与Pawlak粗糙连续性的另两种定义是一致的。第三节讨论粗连续函数的取大,取小,取余等一系列运算性质。第四节将闭区间上连续函数的性质加以推广,给出闭区间上离散函数的最值定理,有界性定理及新的介值定理。以反例的形式说明了Pawlak介值定理的充分性不成立。提出与粗糙连续性密切相关的连通函数的概念,以此为工具对新介值定理作出严格的证明。第五节提出离散函数的粗不动点的概念,给出粗糙连续函数的粗不动点定理,并做了一定探讨。第六章对粗糙函数模型中的粗微积分及其应用问题展开讨论。本章的具体工作如下。关于粗糙函数模型中离散函数的粗导数,Pawlak提出粗导数的定义,给出两个离散函数四则运算的粗导数法则和高阶粗导数公式,并指出对于一般的离散函数,不成立费马定理和罗尔定理.在Pawlak给出的粗导数理论框架下,第六章第二节对这一部分内容作了改进和发展,第二节第一小节分析粗导函数及高阶粗导函数的函数特征,指出Pawlak给出的高阶粗导数定义的不完善之处,提出广义粗糙函数的概念,对原高阶粗导数定义进行改进,Pawlak只给出粗导数的四则运算公式及高阶粗导数公式的结论,未作证明,而其它少有的文献只是对粗导数的四则运算公式做出证明。本小节利用数值分析差分原理中单位映射和恒等映射的概念,对高阶粗导数公式做出证明,事实上,费马定理和罗尔定理即使对于粗连续的离散函数也是不成立的。为完善粗糙函数模型中粗导数应用的理论基础,第二节第二小节给出离散函数粗极值的概念,提出并证明了粗光滑离散函数的费马定理和罗尔定理,第二节第三小节定义离散函数的粗单调性和粗凹凸性的概念,通过与连续实函数导数的应用相对比,提出粗导数与粗单调性的关系定理,粗极值的两个充分条件,粗导数与粗凹凸性的两个关系定理,同时得到离散函数粗光滑的充分条件等一些新的结果。关于粗糙函数模型中离散函数的粗积分,Pawlak未作深入探讨,仅提出离散函数粗积分的定义,由定义推出一个命题和一个递推公式,即以给其他学者提出继续研讨的建议而结束了这一课题的研究,实际上,在Pawlak给出的粗积分定义中,粗积分上限是变动的,所以并非一般意义的粗积分,而是由变上限积分推广而来的变上限的粗积分,第六章第三节对Pawlak提出的粗积分定义进行改进,在第三节第一小节分别给出常数区间上的粗积分定义和粗积分上限函数等新概念,与一般实函数的定积分相对比,第三节第二小节分析粗积分的性质,给出离散函数平均值的概念,得到粗积分计算的平均值法,提出粗积分中值定理,并分析其几何意义,第三节第三小节提出粗原函数存在定理,粗微积分基本公式等结论,给出由离散函数表达式求原函数的方法,由此推导出常用粗积分基本公式,给出粗积分计算的直接粗积分法,粗积分的计算有类似定积分计算的分部粗积分法,由此推导出被积函数形如粗幂函数和粗指数函数之积的粗积分递推公式,最后指出粗积分不适用换元法求解,分析原因并举例说明。第七章总结了本论文的主要创新点及结论,并对与本论文的研究密切相关的后续工作进行展望,明确了今后研究工作的思路和方向。
玉璋[10]（2007）在《无穷积分被积函数的极限问题》文中认为目的:讨论无穷积分integral from n=a to （+∞）f（x）dx的被积函数f（x）当x→+∞时的极限情况.方法:利用函数f（x）在[a,+∞)上一致连续的一些性质和结论.结果:给出了无穷积分integral from n=a to （+∞）f（x）dx的被积函数极限lim/（x→+∞）f（x）=0的一些条件及其证明.结论:无穷积分integral from n=a to （+∞）f（x）dx收敛时被积函数极限xli→m+∞f（x）=0必须附加一定的条件下才能成立,这与数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的.
二、再论integral from a to (+∞)f(x)dx收敛的必要条件（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、再论integral from a to (+∞)f(x)dx收敛的必要条件（论文提纲范文）
（1）学术演讲集《理论物理学八讲》翻译实践报告（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 翻译项目介绍 |
| 1.1 项目承接 |
| 1.2 语言特征 |
| 第2章 研究背景 |
| 2.1 科技翻译研究 |
| 2.2 术语翻译研究 |
| 第3章 术语翻译的可读性 |
| 3.1 时效性 |
| 3.2 术语意识 |
| 第4章 术语翻译的层次性 |
| 4.1 术语的关联度 |
| 4.2 术语的前后统一 |
| 4.3 术语的级阶统一 |
| 第5章 翻译实践总结 |
| 参考文献 |
| 附录一:书目(非直接引用) |
| 附录二:术语表 |
| 附录三:翻译原文及译文 |
| 攻读学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
（2）Schr（?）dinger算子的逆谱与逆散射问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 物理背景 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文主要工作及创新点 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 复分析理论 |
| 2.2 Schr(?)dinger方程解的性质 |
| 3 具有不连续条件Schr(?)dinger算子的逆谱问题 |
| 3.1 主要结论 |
| 3.2 主要结论的证明 |
| 4 半直线上Schr(?)dinger算子的逆特征值问题 |
| 4.1 唯一性定理 |
| 4.2 重构算法 |
| 5 Schr(?)dinger算子的逆共振散射 |
| 5.1 半直线情形 |
| 5.1.1 共振的渐近估计 |
| 5.1.2 逆共振问题 |
| 5.2 全直线情形 |
| 5.2.1 主要结论 |
| 5.2.2 主要结论的证明 |
| 6 矩阵Schr(?)dinger算子的逆散射问题 |
| 6.1 半直线上散射数据的性质 |
| 6.2 半直线上逆散射问题的唯一性定理 |
| 6.3 半直线上缺失束缚态数据的逆散射问题 |
| 6.4 全直线上缺失束缚态数据的逆散射问题 |
| 6.5 非紧星图上的逆散射问题 |
| 6.5.1 带有一条有限边的情形 |
| 6.5.2 带有多条有限边的情形 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
（3）热—流—质运移过程均匀化理论及电动力学中的一些新观点（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 目录 |
| 第1章 热-流-质运移过程均匀化理论 |
| 1.1 绪论 |
| 1.1.1 物理背景 |
| 1.1.2 均匀化方法 |
| 1.1.3 本部分研究的问题和主要结论 |
| 1.2 先验估计 |
| 1.3 均匀化理论 |
| 1.4 一阶展开的误差估计 |
| 1.5 本章小结 |
| 第2章 电动力学中的一些新观点 |
| 2.1 绪论 |
| 2.1.1 本部分研究的问题和主要结论 |
| 2.2 能量变分法,广义扩散理论及PNP方程推导 |
| 2.2.1 能量变分法 |
| 2.2.2 广义扩散理论 |
| 2.2.3 PNP方程和PNPS方程能量推导 |
| 2.3 Poisson-Nernst-Planck方程组及其稳态极限 |
| 2.3.1 PNP方程组的稳态-Poisson-Boltzmann模型 |
| 2.3.2 PB方程与PNP方程组的不一致 |
| 2.3.3 电荷守恒型Poisson-Boltzmann方程 |
| 2.4 表面势阱及电荷层 |
| 2.4.1 表面势阱模型 |
| 2.4.2 化学势 |
| 2.4.3 重整化的CCPB方程及ζ势定义 |
| 2.4.4 PB,CCPB,及PNP的对比 |
| 2.4.5 不同模型参数之间的关系 |
| 2.5 电渗透效应及其时间依赖性 |
| 2.6 Onsager关系 |
| 2.7 本章小结 |
| 第3章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（4）容度极限理论和非线性数学期望在金融中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 第一章 容度下的极限理论 |
| §1.1 次线性期望下加权和的中心极限定理 |
| §1.1 .1 记号和概念 |
| §1.1.2 主要结果及证明 |
| §1.2 线性期望下的一个Berry-Esseen定理 |
| §1.3 容度下的中心极限定理 |
| §1.4 对容度的大数定律 |
| §1.4.1 具有模糊性的坛子模型 |
| §1.4.2 对容度的大数定律 |
| §1.4.3 一般化的坛子模型 |
| 第二章 次线性期望下的离散鞅 |
| §2.1 相关定义 |
| §2.2 SL-鞅及相关的不等式 |
| 第三章 G-布朗运动轨道的性质 |
| §3.1 多维G-布朗运动的Kunita-Watanabe不等式和Tanaka公式 |
| §3.1.1 预备知识 |
| §3.1.2 G-布朗运动的相互变差过程及Kunita-Watanabe不等式 |
| §3.1.3 多维G-布朗运动的Tanaka公式 |
| §3.2 G-布朗运动轨道的增量刻画 |
| §3.2.1 G-布朗运动的增量性质 |
| 第四章 G-布朗运动驱动的随机微分方程的平稳性问题 |
| §4.1 G-布朗运动驱动的随机微分方程的平稳性 |
| §4.1.1 可积-Lipschitz条件下G-SDE的平稳性定理 |
| §4.1.2 G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程的平稳性 |
| §4.1.3 G-布朗运动驱动的耦合正倒向随机微分方程解的存在唯一性 |
| §4.1.4 G-布朗运动驱动的耦合正倒向随机微分方程的平稳性 |
| §4.2 G-布朗运动驱动的随机微分方程的指数平稳性 |
| §4.2.1 G-布朗运动驱动的随机微分方程的渐近指数平稳性定理 |
| §4.3 G-期望下的最优控制问题 |
| §4.3.1 G-正向和倒向随机微分方程 |
| §4.3.2 G-期望下的最优控制问题 |
| 第五章 G-布朗运动在最优消费和投资组合中的应用 |
| §5.1 预备知识 |
| §5.2 波动率不确定性下的最优消费策略和投资组合 |
| §5.3 波动率不确定性下的共同基金定理 |
| §5.4 一种特殊的情形 |
| Bibliography |
| 致谢 |
| 个人简历 |
| 博士期间的学术论文 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（5）井中激发极化法正反演及快速迭代求解技术研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究目的和意义 |
| 1.2 发展概况和研究现状 |
| 1.3 主要内容 |
| 1.4 创新点 |
| 第二章 井中激发极化法三维有限元正演 |
| 2.1 基本原理 |
| 2.1.1 有限元法 |
| 2.1.2 点源场基本原理 |
| 2.1.3 边值问题 |
| 2.2 变分问题 |
| 2.3 井中激发极化法 |
| 2.3.1 方法原理 |
| 2.3.2 视极化率的计算 |
| 2.4 区域离散 |
| 2.4.1 网格剖分技术 |
| 2.4.2 区域离散方式 |
| 2.5 单元分析 |
| 2.5.1 四面体单元 |
| 2.5.2 三棱柱单元分析 |
| 2.6 刚度矩阵的压缩存储 |
| 2.7 右端项校正技术 |
| 2.7.1 异常电位法 |
| 2.7.2 右端项校正技术 |
| 2.8 数值模拟实验 |
| 2.9 小结 |
| 第三章 线性方程组的迭代求解技术 |
| 3.1 直接解法 |
| 3.2 定常迭代解法 |
| 3.3 KRYLOV子空间法 |
| 3.3.1 Krylov子空间法 |
| 3.3.2 PCG算法 |
| 3.3.3 压缩子空间技术 |
| 3.4 求解序列线性方程组的循环KRYLOV子空间法 |
| 3.4.1 种子系统的求解 |
| 3.4.2 非种子系统的加速求解算法 |
| 3.4.3 构造右端项靠近的等价序列线性方程组 |
| 3.4.4 算法实现 |
| 3.4.5 数值实验 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 反演的基本原理和方法 |
| 4.1 基本原理 |
| 4.2 反演求解方法 |
| 4.2.1 线性搜索类方法 |
| 4.2.2 迭代步长的选择 |
| 4.3 迭代求解算法 |
| 4.3.1 非线性共轭梯度法 |
| 4.3.2 拟牛顿法 |
| 4.3.3 不精确牛顿法 |
| 4.3.4 Gauss-Newton法 |
| 第五章 井中激发极化法的正则化反演 |
| 5.1 正则化原理和方法 |
| 5.1.1 Tikhonov正则化原理 |
| 5.1.2 正则化参数的选取方法 |
| 5.2 目标函数 |
| 5.3 网格剖分 |
| 5.4 光滑性约束 |
| 5.5 JACOBIAN矩阵计算 |
| 5.6 不精确GAUSS-NEWTON反演 |
| 5.7 视极化率的反演 |
| 5.8 数值实验 |
| 5.9 小结 |
| 第六章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间主要的研究成果 |
（7）几类算子在一些函数空间上的估计（论文提纲范文）
| 目录 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 分数次积分算子在模空间上的估计 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 定义与主要结果 |
| 1.3 主要结果的证明 |
| 2.1 引言及主要结果 |
| 2.2 定义、符号 |
| 2.3 主要结果的证明 |
| 第三章 Hausdorff算子的一些估计 |
| 3.1 引言、定义及主要结果 |
| 3.2 主要结果的证明 |
| 第四章 H-L极大函数在加权Orlicz-Morrey空间上的估计 |
| 4.1 引言及主要结果 |
| 4.2 定义、记号 |
| 4.3 一些引理 |
| 4.4 主要结果的证明 |
| 第五章 Dirac算子的零模和零共振的一些估计 |
| 5.1 引言、定义和符号 |
| 5.2 主要结果 |
| 5.3 辅助命题 |
| 5.4 主要结果的证明 |
| 参考文献 |
| 发表文章目录 |
| 简历 |
| 致谢 |
（8）随机控制和对策理论中的一些倒向问题（论文提纲范文）
| 中文部分 |
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 介绍 |
| §1.1 连续系数的倒向随机微分方程解的唯一性和连续依赖性之间的等价关系 |
| §1.2 倒向随机微分方程的解Z的有界和相关性质及其应用 |
| §1.3 一类随机递归最优控制问题的动态规划原理和HJB方程 |
| §1.4 线性二次最优控制,非零和微分对策和正倒向随机微分方程 |
| §1.5 预备知识和论文中使用的记号 |
| 第二章 连续系数的倒向随机微分方程解的唯一性和连续依赖性之间的等价关系 |
| §2.1 预备知识 |
| §2.2 主要结果 |
| §2.3 一般情形 |
| 第三章 倒向随机微分方程的解Z的有界和相关性质及其应用 |
| §3.1 预备知识 |
| §3.2 关于Z的有界性和生存性 |
| §3.3 耦合SDE的BSDE |
| §3.4 在金融中的应用 |
| §3.5 一类随机非零和对策问题的Nash均衡点 |
| 第四章 一类随机递归最优控制问题的动态规划原理和HJB方程 |
| §4.1 反射BSDE的预备结果 |
| §4.2 模型的建立和动态规划原理 |
| §4.3 HJB方程障碍问题的粘性解 |
| 第五章 线性二次最优控制,非零和微分对策和正倒向随机微分方程 |
| §5.1 倒向随机微分方程的线性二次非零和微分对策 |
| §5.1.1 初始端耦合的FBSDE的预备结果 |
| §5.1.2 倒向LQ非零和随机微分对策 |
| §5.2 正倒向随机系统的线性二次最优控制和非零和微分对策 |
| §5.2.1 双倍维数的FBSDE的预备结果 |
| §5.2.2 线性二次随机最优控制问题 |
| §5.2.3 线性二次非零和随机对策问题 |
| Bibliography |
| 作者简介 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
| 英文部分 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 Introduction |
| §1.1 The Equivalence between Uniqueness and Continuous Dependence of Solution for BSDEs with Continuous Coefficient |
| §1.2 Boundncss and Related Properties on Z for BSDEs with applications |
| §1.3 Dynamic Programming Principle for One Kind of Stochastic Recursive Optimal Control Problem and HJB Equation |
| §1.4 Linear-Quadratic Optimal control, Nonzero-Sum Differential Game and FBSDE |
| §1.5 Preliminary and Notations Used in This Thesis |
| 2 The Equivalence between Uniqueness and Continuous Dependence of Solution for BSDEs with Continuous Coefficient |
| §2.1 Preliminaries |
| §2.2 Main Results |
| §2.3 The General Case |
| 3 Boundness and Related Properties on Z for BSDEs with applications |
| §3.1 Preliminaries |
| §3.2 Bounded and viability properties with respect to Z |
| §3.3 BSDEs coupled with SDEs |
| §3.4 Application in finance |
| §3.5 Nash equilibrium point for one kind of stochastic nonzero-sum game problem |
| 4 Dynamic Programming Principle for One Kind of Stochastic Recur(?) sive Optimal Control Problem and HJB Equation |
| §4.1 Preliminary Results of the Reflected BSDE |
| §4.2 Formulation of the Problem and the Dynamic Programming Principle |
| §4.3 Viscosity Solution of an Obstacle Problem for HJB Equation |
| 5 Linear-Quadratic Optimal control, Nonzero-Sum Differential Game and FBSDE |
| §5.1 Linear-Quadratic Nonzero-Sum Differential Game of Backward Stochastic Differential Equations |
| §5.1.1 Preliminary Results of Initial Coupled FBSDEs |
| §5.1.2 Backward LQ Nonzero-Sum Stochastic Differential Games |
| §5.2 Linear-Quadratic Optimal Control and Nonzero-Sum Differential Game of Forward-Backward Stochastic System |
| §5.2.1 Preliminary Results of FBSDE with Double Dimensions |
| §5.2.2 Linear-Quadratic Stochastic Optimal Control Problem |
| §5.2.3 Linear-Quadratic Nonzero-Sum Stochastic Differential Game |
| Bibliography |
| CURRICULUM VITAE |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（9）粗糙集与粗糙函数模型研究（论文提纲范文）
| 中文部分 |
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 粗糙集理论的研究领域及现状 |
| 1.3 粗糙集理论的基本概念 |
| 1.4 论文的主要研究内容 |
| 第二章 粗糙函数模型 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 实数轴上的粗糙集概念及性质 |
| 2.3 实轴-标度粗糙函数模型 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 粗糙函数模型中的粗糙隶属函数 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 粗糙函数模型中的粗糙区间及其性质 |
| 3.3 粗糙函数模型中的粗糙隶属函数及其性质 |
| 3.4 粗糙区间的粗包含与粗相等 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 粗糙函数模型中的粗柯西数列及其性质 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 粗糙函数模型中的粗柯西数列及其性质 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 粗糙函数模型中的粗连续离散函数及其性质 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 粗糙函数模型中粗连续离散函数的概念 |
| 5.3 粗连续离散函数的运算 |
| 5.4 粗连续离散函数的性质定理 |
| 5.5 粗连续离散函数的粗不动点定理 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 粗糙函数模型中的粗微积分及其应用 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 粗糙函数模型中粗导数及其应用 |
| 6.3 粗糙函数模型中粗积分及其应用 |
| 6.4 本章小结 |
| 第七章 结论与展望 |
| 7.1 主要创新点与结论 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文与科研项目 |
| 英文部分 |
| Abstract |
| Symbols illustration |
| Chapter 1 Exordium |
| 1.1 Introduction |
| 1.2 Research field and current station of rough set theory |
| 1.3 Basic concepts of rough set theory |
| 1.4 Main research work of the thesis |
| Chapter 2 Rough Function Model |
| 2.1 Introduction |
| 2.2 Concepts and properties of rough sets on real line |
| 2.3 Real line-scale rough function model |
| 2.4 Conclusions of this chapter |
| Chapter 3 Rough Membership Functions in Rough Function Model |
| 3.1 Introduction |
| 3.2 Rough intervals in rough Function model and their properties |
| 3.3 Rough membership functions in rough function model and their properties |
| 3.4 Rough inclusion and rough equality of rough intervals |
| 3.5 Conclusions of this chapter |
| Chapter 4 Rough Cauchy Sequences in Rough Function Model and Their Properties |
| 4.1 Introduction |
| 4.2 Rough Cauchy sequences in rough function model and their properties |
| 4.3 Conclusions of this chapter |
| Chapter 5 Roughly Continuous Functions in Rough Function Model and Their Properties |
| 5.1 Introduction |
| 5.2 Concepts of roughly continuous discrete functions in rough function model |
| 5.3 Operations of roughly continuous discrete functions |
| 5.4 Property theorems of roughly continuous discrete functions |
| 5.5 Rough fix-point theorem of roughly continuous discrete functions |
| 5.6 Conclusions of this chapter |
| Chapter 6 Rough calculus in rough function model and its applications |
| 6.1 Introduction |
| 6.2 Rough derivative in rough function model and its applications |
| 6.3 Rough integration in rough function model and its applications |
| 6.4 Conclusions of this chapter |
| Chapter 7 Conclusions and Prospect |
| 7.1 Main Innovation Opinions and Conclusions |
| 7.2 Prospects |
| References |
| Acknowledgements |
| Published Academic Papers and Scientific Research Projects during Studying Ph.D.Degree |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
四、再论integral from a to (+∞)f(x)dx收敛的必要条件（论文参考文献）
- [1]学术演讲集《理论物理学八讲》翻译实践报告[D]. 葛依凌. 浙江理工大学, 2020(02)
- [2]Schr（?）dinger算子的逆谱与逆散射问题[D]. 徐小川. 南京理工大学, 2019(06)
- [3]热—流—质运移过程均匀化理论及电动力学中的一些新观点[D]. 徐士鑫. 中国科学技术大学, 2013(05)
- [4]容度极限理论和非线性数学期望在金融中的应用[D]. 张德飞. 山东大学, 2012(12)
- [5]井中激发极化法正反演及快速迭代求解技术研究[D]. 李长伟. 中南大学, 2012(02)
- [6]无穷限积分integral from n=a to +∞ （f（x）dx）中被积函数f（x）的渐近分析[J]. 熊骏,曾鹏. 长江大学学报(自然科学版), 2011(09)
- [7]几类算子在一些函数空间上的估计[D]. 钟勇. 浙江大学, 2011(02)
- [8]随机控制和对策理论中的一些倒向问题[D]. 于志勇. 山东大学, 2008(01)
- [9]粗糙集与粗糙函数模型研究[D]. 王耘. 山东大学, 2008(12)
- [10]无穷积分被积函数的极限问题[J]. 玉璋. 怀化学院学报(自然科学), 2007(04)