问：如何利用导数证明不等式
- 答：证明不等式是学生的弱点与难点，也是高考的热点。本文就以利用导数证明不等式为例，谈一些具体做法，仅供参考。 一、用函数的单调性证明不等式注 用函数的单调性证明不等式的一般思路：（1）构造函数f（x）；（2）利用导数确定f（x）在某一区间的单调性；（3）依据该区间的单调性证不等式。 二、用函数的最值证明不等式
问：用导数证明不等式7种方法
- 答：内容来自用户:天道酬勤能补拙
利用导数证明不等式问题—4大解题技巧
趣题引入
已知函数设，
证明：
分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。
证明：，设当时，当时，
即在上为减函数，在上为增函数
∴，又∴，
即设当时，，因此在区间上为减函数；
因为，又∴，
即故
综上可知，当时，
本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。
技巧精髓
一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
1、利用题目所给函数证明
【例1】已知函数，求证：当时，
恒有
分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数
，从其导数入手即可证明。
【绿色通道】∴当时，，即在上为增函数
当时，，即在上为减函数
故函数的单调递增区间为，单调递减区间
于是函数在上的最大值为3于是
问：用导数证明这个不等式，谢谢～
- 答：令f(x)=ln(1+x)+x^2/2-x (x>0)
f'(x)=1/(1+x)+x-1=x^2/(1+x)>0
所以f(x)在x>0上是严格单调递增的
所以f(x)>f(0)=0
所以x-x^2/2<ln(1+x) - 答：令f(x)=ln(1+x)+x^2/2-x (x>0)，f'(x)=1/(1+x)+x-1=x^2/(1+x)>0，所以f(x)在x>0上是严格单调递增的，所以f(x)>f(0)=0，所以x-x^2/2<ln(1+x)。
导数：（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
证明方法：（1）利用导数的定义：
[cos(x)]'=lim{[cos(x+h)-cos(x)]/h}
注意：极限过程是h→0
（2）利用三角公式中的和差化积公式：
[cos(x)]'=lim{[cos(x+h)-cos(x)]/h}
=lim{(1/h)*[-2sin(x+h/2)*sin(h/2)]}
=lim{-sin(x+h/2)*[sin(h/2)/(h/2)]}
（3）在高数极限一章我们已经熟知的重要极限:
lim[sin(x)/x]=1(极限过程是x→0)
